Q:そもそも、会社に副業していることは、ばれてしまうものなのか?

A:会社が自分の「住民税」を払っているとばれまてしまいます。
会社員の住民税は、本人に代わって会社が支払って、給料から天引きされています。
副業で支払われる所得に対して、自治体は、住民税の計算をして、支払いを請求してきます。その請求は、自治体から副業の会社へ行くのではなく、本業の所得と、副業の所得を足した分に税率を算出した住民税が、本業の会社へ請求が行ってしまいます。
そうすると、会社側で、住民税が本業の給与に対して高くなっていることに気づき、バレてしまうのです。
ただ、「住民税」から副業がばれにくくする方法はあります。
住民税を会社側ではなく、自分で納めればよいのです。

そもそも、会社が自分の住民税を払っていることを特別徴収と言い、自分で住民税を支払うことを普通徴収と言います。
もちろん、その分役所へ支払いの手続きをするなど、余計な工数はかかってしまいますが、会社にバレてしまうリスクをとるよりも良いですよね。
住民税を自分で納付する手続きする方法
会社員ですと、年末調整をしているかと思いますが、何かしら理由をつけて確定申告に切り替えると、確定申告書第二表の「住民税に関する事項」の欄への記入で、住民税の申告と納付方法を、会社でしてもらうか、自分で支払うか選択できる欄があるので、「自分で納付」に○をすれば、住民税の納付書が送られる普通徴収に変更できます。
まとめ
会社員をしながら副業をするときは、本業の就業規則をまず確認しましょう。
働き方改革で、時間が余裕はできますが、まだまだ、多くの会社は、副業は本業に差し支えがあるとして禁止していることが多いのは事実です。
また、会社の就職規則上では大丈夫だけど、本業で頑張っている同僚や上司にバレたくないという方が多いのではないでしょうか。